Xin ông nêu một số nét chính nổi bật của công trình nghiên cứu?
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn: Công trình “Generic properties for semialgebraic programs” được viết chung với Giáo sư Gue Myung Lee (Đại học Quốc gia Pukyong, Hàn Quốc) và được xuất bản trên tạp chí SIAM Journal on Optimization năm 2017. Đó là Công trình nghiên cứu bài toán tối ưu nửa đại số: Tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức trên một tập nửa đại số (là tập được xác định bởi các phương trình và bất phương trình đa thức). Đây là bài toán “NP-hard” và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt sau khi bài báo “Global optimization with polynomials and the problem of moments” của Jean Bernard Lasserre được xuất bản trên tạp chí SIAM Journal on Optimization năm 2001. Trong bài báo này, sử dụng các kết quả từ Hình học đại số thực và Giải tích hàm, Lasserre đã chỉ ra rằng để tìm giá trị tối ưu của hàm đa thức trên tập nửa đại số compact chúng ta có thể giải một dãy các bài toán quy hoạch nửa xác định (là những bài toán quy hoạch lồi có thể giải một cách hiệu quả bằng thuật toán điểm trong).
Khi nghiên cứu một lớp các bài toán, chúng ta thường đưa ra một vài giả thiết. Câu hỏi đặt ra là những giả thiết như vậy có “tự nhiên”, tức chúng có đúng với hầu hết các bài toán trong lớp được xét? Trong Công trình, dựa trên một vài ý tưởng của Lý thuyết kỳ dị và sử dụng các công cụ của Hình học nửa đại số, chúng tôi chứng minh những giả thiết quan trọng trong tối ưu là hoàn toàn “tự nhiên” và hơn nữa, nghiệm của hầu hết các bài toán tối ưu nửa đại số hoàn toàn được xác định sau khi giải một số hữu hạn các bài toán quy hoạch nửa xác định.
Các kết quả của Công trình đã được đưa vào sách chuyên khảo “Genericity in Polynomial Optimization” do Nhà xuất bản World Scientific xuất bản và phát hành năm 2017. Trên cơ sở đề nghị và giới thiệu của Giáo sư Lasserre, Giáo sư Hà Huy Vui và tôi viết sách này trình bày những ý tưởng, các kỹ thuật và các kết quả liên quan đến một số vấn đề cơ bản của tối ưu nửa đại số. Chúng tôi hy vọng cuốn sách sẽ hữu ích cho những người quan tâm (đặc biệt các bạn trẻ) đến tối ưu nửa đại số.
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn (Khoa Toán Tin, trường Đại học Đà Lạt)
Xin ông có thể cho biết động lực nào đưa ông đến với con đường nghiên cứu khoa học và đặc biệt là chuyên ngành mà ông đang theo đuổi bây giờ?
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn: Tôi bắt đầu thích toán từ những năm học phổ thông trung học và bởi vậy đã theo học ngành Toán tại trường Đại học Đà Lạt. Giáo sư Nguyễn Hữu Đức đã dạy một vài chuyên đề liên quan đến chuyên ngành Lý thuyết kỳ dị cho tôi (và nhiều người khác) ở bậc Đại học và Cao học. Những bài giảng của Giáo sư đã truyền cảm hứng và hướng tôi đến với Lý thuyết kỳ dị. Năm 1994, tôi làm nghiên cứu sinh tại Viện Toán học – Hà Nội dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Hà Huy Vui. Thời gian này tôi tập trung nghiên cứu các tính chất hình học, tô pô và đặc biệt hiện tượng kỳ dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức. Quãng những năm 2005, Giáo sư Hà Huy Vui và tôi bắt đầu tìm hiểu một số vấn đề trong tối ưu nửa đại số. Điều này khá tự nhiên do nghiệm của bài toán tối ưu có quan hệ mật thiết đến hiện tượng kỳ dị (địa phương và tại vô hạn). Đặc biệt, năm 2008 và 2009, sử dụng một định lý biểu diễn tổng các bình phương của đa thức không âm trên tập nửa đại số (không nhất thiết compact), Giáo sư và tôi đã chỉ ra rằng có thể tìm giá trị tối ưu của một hàm đa thức trên tập nửa đại số bất kỳ bằng cách giải một dãy các bài toán quy hoạch nửa xác định. Sau một vài thành công, tôi tập trung nghiên cứu nhiều hơn vào lĩnh vực tối ưu nửa đại số.
Có ý kiến cho rằng ông “ẩn cư” ở Đà Lạt để làm toán? Ý kiến của ông về vấn đề này như thế nào?
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn: Hơn ba mươi năm về trước, Đà Lạt thực sự rất vắng vẻ và buồn và có lẽ vậy mà nhiều người thường chuyển đi nơi khác sau một thời gian ở Đà Lạt. Tôi lên Đà Lạt học đại học từ năm 1981 và ở lại đây làm việc (giảng dạy và nghiên cứu) cho đến bây giờ. Đà Lạt hiện tại đông người và phố xá hơn, nhưng vẫn còn những khoảng không gian thoáng, yên tĩnh với thời tiết mát dễ chịu, nên ngoại trừ những chuyến công tác ngắn hạn tại các viện nghiên cứu trong và ngoài nước, tôi thích ở Đà Lạt để tiến hành các nghiên cứu của mình. Nhiều công trình nghiên cứu của tôi, trong đó có công trình được đề cử Giải thưởng Tạ Quang Bửu 2020, đều được hình thành và hoàn thiện ở Đà Lạt. Có thể đó là nguyên nhân người ta nói tôi “ẩn cư” ở Đà Lạt để làm toán.
Ông có thể chia sẻ quan điểm về những khó khăn trong việc thúc đẩy phát triển các công trình, đề tài nghiên cứu khoa học hiện nay không?
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn: Hiện tại tôi không gặp những khó khăn về thời gian và kinh phí. Tuy nhiên, nhìn lại lúc tôi mới bắt đầu nghiên cứu khoa học, có lẽ hai điều sau là khó khăn căn bản với những người làm công tác nghiên cứu (đặc biệt với các bạn trẻ) đó là thời gian dành cho nghiên cứu ít (do giảng dạy nhiều) và nguồn kinh phí được tài trợ để thực hiện nghiên cứu không nhiều và không phải khi nào cũng có.
Công việc của tôi thuần túy là giảng dạy và nghiên cứu, đến nay mọi thứ vẫn có vẻ ổn… và đặc biệt tôi được làm điều mình yêu thích. Theo tôi niềm đam mê khoa học, mong muốn học hỏi và khám phá cái mới là những động lực để chúng ta có thể gắn bó lâu dài với nghiên cứu khoa học.
Ngày nay internet giúp chúng ta phổ biến các kết quả nghiên cứu nhanh chóng và rộng rãi. Mặt khác, ở xa các trung tâm lớn như Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh, nên chúng tôi ít có cơ hội được gặp gỡ và trao đổi chuyên môn trực tiếp với các chuyên gia trong và ngoài nước, và cũng ít có dịp để trình bày các kết quả nghiên cứu của mình.
Xin ông có thể chia sẻ về hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài trong thời gian tới?
Phó Giáo sư, Tiến sỹ Phạm Tiến Sơn: Tôi cùng các đồng nghiệp đang xây dựng những tính chất tổng quát cho lớp bài toán tối ưu nửa đại số có cấu trúc phức tạp ở đó hàm mục tiêu và tập ràng buộc phụ thuộc (phi tuyến) vào tham số; có lẽ cần những ý tưởng mới để giải quyết trường hợp rất tổng quát này. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng muốn nghiên cứu tính tổng quát của các thuật toán trong tối ưu sử dụng công cụ của Hình học nửa đại số (chẳng hạn, bất đẳng thức Łojasiewicz) và Lý thuyết hệ động lực (các đa tạp bất biến).
Xin cảm ơn ông về cuộc trò chuyện này.